スペクトル幅とパルス幅の関係

式の導出方法

フェムト秒レーザーのパルス幅とスペクトル幅には、不確定性原理に基づく関係があります。パルス幅が短いほどスペクトル幅は広くなり、これらは独立に決めることができません。ここではその関係式の導出と、パルス幅からスペクトル幅を計算する方法を解説します。

光の周波数 ν と波長 λ の関係は ν = c/λ です。両辺を微分すると

dν = −c/λ² · dλ

符号は周波数と波長が逆方向に変化することを表していますが、幅（絶対値）として扱うと

Δν = c · Δλ / λ²

これが周波数幅と波長幅の変換式になります。

パルスの時間幅 Δt と周波数帯域幅 Δν には不確定性原理から

Δt · Δν ≥ K

という下限が存在します。等号が成立するパルスを フーリエ変換限界パルスと呼び、与えられたスペクトル幅に対して理論上最も短いパルス幅を持ちます。

また、定数 K はパルスの時間波形によって異なります

• ガウシアンパルス：K = 0.441
• sech² パルス：K = 0.315（フェムト秒レーザーで一般的）
  

Δt · Δν ≥ K に Δν = c · Δλ / λ² を代入すると

パルス幅 → スペクトル幅：Δλ = K · λ² / (c · Δt)

スペクトル幅 → パルス幅：Δt = K · λ² / (c · Δλ)

ここで求まるのはフーリエ変換限界の値であり、理論上の最短パルス幅を表します。実際のパルスは分散などの影響でこの値より広がります。